数学建模

 

模型知识点

初等模型-优化模型-案例-洗衣服

 

Wang Haihua

🚅 🚋😜 🚑 🚔

洗衣服问题

王老师周末手洗衣服，在打完肥皂揉搓完毕后，需要将衣服进行漂洗。在有一桶水用于漂洗的情况下，他打算用水将衣服分四次漂洗完，那么这几次漂洗各用多少水能让衣服漂洗得最干净？

问题分析

假设

• 假设洗的是普通的衣服
• 假设衣服上是普通的污渍，可溶于水，非悬浊； 污渍溶于水永不达到饱和状态
• 漂洗取污渍的原理就是：衣服上的污渍充分溶解入到水中，污渍随着漂洗后水的去除而减少

变量

• 每次使用的水量分别为$x_1,x_2,x_3,x_4$
• 第i次漂洗完剩下的污渍数量分别为$d_i$, $i = 1,2,3,4$

参数

• 污渍的初始量为 $d_0$
• 漂洗前衣服上残留的水量为$W$,为常数
• 第i衣服上残留的水量分别为$R$,为常数

建立模型

污渍的变化规律

$$d_i = W\times \frac{d_{i-1}}{x_i+W}$$

优化目标

由递推数列得到 $$d_4 = W^4 \times \frac{d_0}{\prod_{i=1}^{4}(x_i+W)}$$ 我们的目标是使$d_4$最小

求解模型

基础模型

# 总用水量 单位g
M = 25000
# 每次洗衣残留水量 单位g
W = 1000
# 初始污渍量
D = 15

from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
e = 1e-10 # 非常接近0的值
fun = lambda x : (W**4*D) / ((x[0]+W)*(x[1]+W)*(x[2]+W)*(x[3]+W)) # 约束函数
cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0] + x[1] + x[2] + x[3] -M}, # x1+x2+x3+x4=M
        {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] - e}, # x>=e，即 x > 0
        {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - e},
        {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] - e},
        {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[3] - e}
       )

x0 = np.array((1.0, 100.0, 1.0,1)) # 设置初始值
res = minimize(fun, x0, method='SLSQP', constraints=cons)
print('最小值：',res.fun)
print('最优解：',res.x)
print('迭代终止是否成功：', res.success)
print('迭代终止原因：', res.message)

最小值： 0.005429620333625323
最优解： [6225.25030562 6324.24908313 6225.25030562 6225.25030562]
迭代终止是否成功： True
迭代终止原因： Optimization terminated successfully

参考 https://blog.csdn.net/HappyRocking/article/details/92574229

拓展一：不同洗衣次数

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 总用水量 单位g
M = 25000
# 每次洗衣残留水量 单位g
W = 1000
# 初始污渍量
D = 15
# 最优解数组
dirty = []
# 洗衣次数
times = list(range(1,100))

# 最优目标函数值
def dn(w,d,m,n):
    s1 = 256*w**n*d
    s2 = m+4*w
    s3 = s2**n
    return s1/s3

# 绘图
plt.figure()

# 用于正常显示中文
plt.rcParams['font.sans-serif'] = 'SimHei'
#用于正常显示符号
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

for n in times:
    dirty.append(dn(W,D,M,n))

# 设置标题、轴名
plt.title('污渍量随洗衣次数的变化')
plt.xlabel('洗衣次数')
plt.ylabel('最低污渍量')
plt.plot(times,dirty)
plt.show()

拓展二：不同用水量与残存水量比

### 拓展二：不同用水量与残存水量比
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 每次洗衣残留水量 单位g
W = 1000
# 残留水量：总水量
r = np.linspace(0.1,100,100)
# 总用水量 单位g
M = [W*x for x in r]
# 初始污渍量
D = 15
# 最优解数组
dirty = []
# 洗衣次数
N = 4

# 最优目标函数值
def dn(w,d,m,n):
    s1 = 256*w**n*d
    s2 = m+4*w
    s3 = s2**n
    return s1/s3

##### 限制y轴取值范围
# 绘图
plt.figure()

# 用于正常显示中文
plt.rcParams['font.sans-serif'] = 'SimHei'
#用于正常显示符号
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

for m in M:
    dirty.append(dn(W,D,m,N))

# 设置标题、轴名
plt.title('污渍量随污渍用水比的变化')
plt.xlabel('污渍用水比')
plt.ylabel('最低污渍量')

# 限制y轴范围
plt.ylim(0,2)
plt.plot(r,dirty)
plt.savefig('污渍量随污渍用水比的变化.jpg')
plt.show()